ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité

La géométrie dans l'espace

Exercice 1 : Identifier une représentation paramétrique d'un plan

Soit le plan \( P \) passant par le point \( A\left(1;7;-3\right) \) et dirigé par les vecteurs \( \vec u\left(-1;1;7\right) \) et \( \vec v\left(-2;-6;1\right) \).

Choisir une représentation paramétrique du plan \( P \) :

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 + s -6t \\ y & = & -3 + t + 7s \\ z & = & 1 - s -2t \\ \end{array} \right. , \text{ }s, t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 1 - s -2t \\ y & = & -3 + t + 7s \\ z & = & 7 + s -6t \\ \end{array} \right. , \text{ }s, t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 1 - s -2t \\ y & = & 7 + s -6t \\ z & = & -3 + t + 7s \\ \end{array} \right. , \text{ }s, t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + t + 7s \\ y & = & 1 - s -2t \\ z & = & 7 + s -6t \\ \end{array} \right. , \text{ }s, t\in\mathbb{R} \)

Trouver le ou les point(s) appartenant au plan \( P \).

1\[ C\left(8;40;13\right) \]
2\[ D\left(7;33;7\right) \]
3\[ B\left(-4;-20;-20\right) \]
4\[ E\left(3;13;-4\right) \]

Exercice 2 : Equation cartésienne d'un plan, 3 points non alignés

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le plan \(P\) défini par les points \(A\left(-3;2;5\right)\), \(B\left(6;-7;4\right)\) et \(C\left(1;-3;-7\right)\).

Donner une équation cartésienne de \(P\).

Exercice 3 : Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?

Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?

A.\( \vec{u}\left(-5;-2;3\right) \text{ et }\vec{v}\left(16;-13;18\right) \)
B.\( \vec{u}\left(1;3;3\right) \text{ et }\vec{v}\left(-21;-9;19\right) \)
C.\( \vec{u}\left(-4;4;-2\right) \text{ et }\vec{v}\left(-15;-20;-4\right) \)
D.\( \vec{u}\left(5;-2;3\right) \text{ et }\vec{v}\left(19;1;-12\right) \)

Exercice 4 : Déterminer les équations cartésienne et paramétrique d'un cercle

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soit un point \(A (5;3)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) et de diamètre \(8\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{C}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation de cercle.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{C}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 8\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + 8\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 4 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4 + 3\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 4 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 4\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 4\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

Exercice 5 : Coordonnées de vecteurs orthogonaux

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les vecteurs \(\vec{u} \left(x;-2;5\right) \) et \(\vec{v} \left(34;37;8\right) \).

Combien doit valoir \(x\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux ?

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